Cap. 3 Cuerpo Rígidos: Sistema equivalentes de fuerzas. (Mecánica racional) Unexpo

Cuerpo Rígidos: Sistema equivalentes de fuerzas.

Al definir que un cuerpo rígido es aquel que no se de forma, se supone que la mayoría de los cuerpos considerados en la mecánica elemental son rígidos. Sin embargo, las estructuras y máquinas reales nunca son absolutamente rígidas y se deforman bajo la acción de las cargas que actúan sobre ellas. A pesar de ello, por lo general esas de formaciones son pequeñas y no afectan las condiciones de equilibrio o de movimiento de la estructura en consideración. No obstante, tales deformaciones son importantes en lo concerniente a la resistencia a la falla de las estructuras y están consideradas en el estudio de la mecánica de materiales.

En este capítulo se estudiará el efecto de las fuerzas ejercidas sobre un cuerpo rígido y se aprenderá cómo reemplazar un sistema de fuerzas dado por un sistema equivalente más simple. Este análisis estará basado en la suposición fundamental de que el efecto de una fuerza dada sobre un cuerpo rígido permanece inalterado si dicha fuerza se mueve a lo largo de su línea de acción (principio de transmisibilidad). Por tanto, las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido pueden representarse por vectores deslizantes.

• FUERZAS EXTERNAS E INTERNAS

Las fuerzas que actúan sobre los cuerpos rígidos se pueden dividir en dos grupos: 1) fuerzas externas y 2) fuerzas internas.

1. Las fuerzas externas representan la acción que ejercen otros cuerpos sobre el cuerpo rígido en consideración. Ellas son las responsables del comportamiento externo del cuerpo rígido. Las fuerzas externas causan que el cuerpo se mueva o aseguran que éste permanezca en reposo.

2. Las fuerzas internas son aquellas que mantienen unidas las partículas que conforman al cuerpo rígido. Si éste está constituido en su estructura por varias partes, las fuerzas que mantienen unidas a dichas partes también se definen como fuerzas internas.

PRINCIPIO DE TRANSMISIBILIDAD. FUERZAS EQUIVALENTES

El principio de transmisibilidad establece que las condiciones de equilibrio o de movimiento de un cuerpo rígido permanecerán inalteradas si una fuerza F que actúa en un punto dado de ese cuerpo se reemplaza por una fuerza F que tiene la misma magnitud y dirección, pero que actúa en un punto distinto, siempre y cuando las dos fuerzas tengan la misma linea de acción Las dos fuerzas, F y F, tienen el mismo efecto sobre el cuerpo rígido y se dice que son equivalentes. Es te principio es ta ble ce que la acción de una fuerza puede ser transmitida a lo largo de su línea de acción, lo cual está basado en la evidencia experimental; no puede ser derivado a partir de las propiedades establecidas hasta ahora en este libro y, por tanto, debe ser aceptado como una ley experimental.

PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES

Para entender mejor el efecto de una fuerza sobre un cuerpo rígido, a continuación se introducirá un nuevo concepto: el momento de una fuerza con respecto a un punto. Este concepto se podrá entender más fácilmente y podrá aplicarse en una forma más efectiva si primero se agrega a las herramientas matemáticas que se tienen disponibles, el producto vectorial de dos vectores. El producto vectorial de los vectores P y Q se define como el vector V que satisface las siguientes condiciones.

MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO

Considere una fuerza F que actúa sobre un cuerpo rígido. Como se sabe, la fuerza F está representada por un vector que define la magnitud y su dirección. Sin embargo, el efecto de la fuerza sobre el cuerpo rígido también depende de su punto de aplicación A. La posición de A puede definirse de manera conveniente por medio del vector r que une al punto de referencia fijo O con A; a es te vector se le conoce como el vector de posición de A. El momento de F con respecto a O se define como el producto vectorial de r y F.

TEOREMA DE VARIGNON

La propiedad distributiva de los productos vectoriales se puede emplear para determinar el momento de la resultante de varias fuerzas concurrentes. Si las fuerzas F1, F2, . . . se aplican en el mismo punto A (figura 3.14) y si se representa por r al vector de posición A

Esto es, el momento con respecto a un punto dado O de la resultante de varias fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de las distintas fuerzas con respecto al mismo punto O. Esta propiedad la descubrió el matemático francés Pierre Varignon (1654-1722) mucho antes de inventar se el álgebra vectorial, por lo que se le conoce como el teorema de Varignon.

Componentes Rectangulares del momento de una fuerza

 En general, la determinación del momento de una fuerza en el espacio se simplifica en forma considerable si el vector de fuerza y el vector de posición a partir de su punto de aplicación se descomponen en sus componentes rectangulares x, y, z. Por ejemplo, considere el momento Mo con respecto a O de una fuerza F con componentes Fx, Fy, Fz que está aplicado en el punto A de coordenadas x, y, z.

Se observa que las componentes del vector de posición r son iguales, respectivamente, a las coordenadas x, y, z del punto A, se escribe

r = xi + yj + zk (1.1)

F = Fxi + Fyj + Fzk (1.2)

Al sustituir r y a F a partir de  (1.1) y (1.2) en

Mo = r X F

Se puede escribir el momento de Mo de F con respecto a 0 de la siguiente forma

Mo = Mxi + Myj + Mzk

Donde las componentes escalares Mx, My, Mz están definidas por las relaciones

Mx = yFz – zFy

My = zFx – xFz

Mz = xFy – yFx

 Las componentes escalares Mx, My, Mz del momento Mo miden la tendencia de la fuerza F a impartirle a un cuerpo rígido un movimiento de rotación alrededor de los ejes x, y, z respectivamente.

Producto escalar de dos vectores

El producto escalar de dos vectores P y Q se define como el producto de las magnitudes de P y Q , y el coseno del ángulo q formado por P y Q. El producto escalar de P y Q se denota mediante P · Q entonces, se escribe

P · Q = PQ cos q

La expresión recién definida no es un vector sino un escalar, lo cual explica el nombre de producto escalar; en virtud de la notación utilizada, P · Q también se conoce como el producto punto de los vectores P y Q. A partir de su propia definición, se concluye que el producto escalar de dos vectores es conmutativo, esto es, que

P · Q = Q ·P

El producto escalar también es distributivo

P · (Q1 + Q2) = P · Q1 + P · Q2

Producto triple mixto de tres vectores

Se define al producto triple escalar o producto triple mixto de tres vectores S, P y Q como la expresión escalar

S · (P X Q)

La cual se obtiene formando el producto escalar de S con el producto vectorial de P y Q. Al producto triple escalar de S, P y Q se le pue de dar una interpretación geométrica simple

Momento de una fuerza con respecto a un eje dado

Considérese nuevamente la fuerza F que actúa sobre un cuerpo rígido y el momento MO de dicha fuerza con respecto a O .Sea OL un eje a través de O; el momento MOL de F con respecto a OL se define como la proyección OC del momento MO sobre el eje OL. Representando al vector unitario a lo largo de OL.

     

El momento MO de una fuerza F, se escribe

MOL = λ · Mo = λ · (r X F)

El significado físico del momento MOL de una fuerza F con respecto al eje fijo OL se vuelve más evidente si se descompone a F en dos componentes rectangulares F1 y F2 con F1 paralela a OL y F2, contenida en un plano P perpendicular a OL. En forma similar, descomponiendo a r en dos componentes r1 y r2 y sustituyendo a F y a r, se escribe

MOL = λ · [(r1 + r2) X (F1 + F2)

        = λ · (r1 X F1) + λ · (r1 X F2) + λ · (r2 X F1) + λ · (r2 X F2)

Momento de un par

Se dice que dos fuerzas F y -F que tienen la misma magnitud, líneas de acción paralelas y sentidos opuestos forman un par. Obviamente, la suma de las componentes de las dos fuerzas en cualquier dirección es igual a cero. Sin embargo, la suma de los momentos de las dos fuerzas con respecto a un punto dado no es cero. Aunque las dos fuerzas no originarán una traslación del cuerpo sobre el que están actuando, éstas sí tenderán a hacer lo rotar. Al representar con rA y rB, respectivamente, a los vectores de posición de los puntos de aplicación de F y -F, se encuentra que la suma de los momentos de las dos fuerzas con respecto a O es

rA X F + rB X (-F) = (rA - rB) X F

     Si se define rA - rB = r, donde r es el vector que une los puntos de aplicación de las dos fuerzas, se concluye que la suma de los momentos de F y  -F, con respecto a O, está representado por el vector

M = r X F

     El vector M se conoce como el momento del par, se trata de un vector perpendicular al plano que contiene las dos fuerzas y su magnitud está dada por

M = rF sen q = Fd

     Donde d es la distancia perpendicular entre las líneas de acción de F y –F. el sentido de M está definido por la regla de la mano derecha.

Pares equivalentes

Para que un par se equivalente a otro se debe cumplir:

• Magnitud del momento resultante igual
• El mismo sentido de giro de momento
• Estar en planos paralelos

F1d1 = F2d2

Adición o suma de pares

Considere dos planos P1 y P2 que se intersecan y dos pares que actúan, respectivamente, en P1 y P2. Se puede suponer, sin perder la generalidad, que el par en P1 consta de dos fuerzas F1 y -F1 perpendiculares a la línea de intersección de los dos planos y que actúan, respectivamente, en A y B. En forma similar, se supone que el par en P2 consta de dos fuerzas F2 y -F2 perpendiculares a AB y que actúan, respectivamente, en A y B. Es obvio que la resultante R de F1y F2 y la resultante -R de -F1 y -F2 forman un par. Si se representa con r el vector que une a B con A y si recordamos la definición de par, el momento M del par resultante queda expresado como sigue:

M = r X R = r X (F1 + F2)

Y, por el teorema de Varignon,

M = r X F1 + r X F2

     Pero el primer término en la expresión obtenida representa al momento M1 del par en P1 y el segundo término representa al momento M2 del par en P2. Así se tiene

M = M1 + M2

     Y se concluye que la suma de dos pares cuyos momentos son iguales a M1 y M2 es un par de momento M igual a la suma vectorial de M1 y M2.

1) Recordemos que pares con igual momento, que actúen en un mismo plano o planos paralelos, son equivalentes.

2) No es necesario representar en el diagrama las fuerzas que forman el par, siendo suficiente establecer el modulo, la dirección y el sentido del momento M del par.

3) Adicionalmente sabemos que la suma de dos pares, es otro par de momento igual a la suma vectorial de los pares iniciales.

4) Por lo tanto los pares pueden ser tratados como vectores, pudiéndose a su vez descomponer el mismo en coordenadas adecuadas Mx, MY, M_{Z .}

Descomposición de una fuerza dada en una fuerza en O y un par 

 Se considera una fuerza F, aplicada en el punto de un sólido rígido. A fin de trasladar la fuerza F aplicada en A al punto O, se procede de la siguiente manera:

1) En el punto O se agregan dos fuerzas, iguales y opuestas (F y –F), las cuales no modifican el estado de movimiento o reposo, por anularse mutuamente.

2) Se observa que las fuerzas –F y F forman un par, el cual puede representarse mediante un vector M O.

3) Al haber elegido el punto O arbitrariamente, se deduce que cualquier fuerza aplicada en un punto, puede ser reemplaza por una fuerza igual, aplicada en otro punto, más un momento que sea igual el momento de la fuerza A respecto al punto O.

4) El momento Mo de F con respecto a O´ se obtiene sumándole al momento Mo de F con respecto a O el producto vectorial  (s x F)  que representa el momento con respecto a O´ de la fuerza F aplicada en O.

Reducción de un sistema de fuerzas a una fuerza y un par 

Considérese un sistema de fuerza F1, F2, F3……que actúan sobre un cuerpo rígido en los puntos A1, A2, A3,…..  Definido por los vectores de posición r1, r2, r3 etc. F1 puede ser trasladada de A1 a un punto dado O, si se agrega al sistema original de fuerzas un par de momento M1, igual al momento r1XF1 de F1 con respecto a O. si se repite este procedimiento con F2, F3… se obtiene el sistema mostrado en la figura b), que consta de las fuerzas originales, ahora actuando en O, y los vectores en par que ahora han sido agregados. Como ahora las fuerzas son concurrentes, pueden ser sumadas vectorialmente y reemplazadas por su resultante R. de manera similar, los vectores M1, M2, M3…. Pueden sumarse vectorialmente y ser reemplazados por un solo vector de par M_O^H. Por tanto, cualquier sistema de fuerzas, sin importar que tan complejo sea, puede ser reducido a un sistema equivalente fuerza-par que actúa en un punto dado O (figura c). Se debe observar que mientras cada uno de los vectores de par M1, M2, M3…. En la figura b) es perpendicular a la fuerza que le corresponde, en general la fuerza resultante R, y el vector de par resultante M_O ^R, en la figura c) no serán perpendiculares entre sí.

El sistema equivalente fuerza-par está definido por las ecuaciones:

R=∑F,   ∑Mo= ∑(r x F)

Las cuales expresan que la fuerza R se obtiene sumando todas las fuerzas del sistema, mientras que el momento del vector de par resultante ∑Mo, denominado momento resultante del sistema, se obtiene sumando los momentos de todas las fuerzas del sistema con respecto a O.

Una vez que un sistema de fuerzas dado se ha reducido a una fuerza y un par que actúa en un punto O, dicho sistema puede reducirse a una fuerza y un par actuando en cualquier otro punto O´. Mientras que la fuerza resultante R permanecerá inalterada el nuevo momento resultante ∑Mo, será igual a la suma de ∑Mo y el momento con respecto a O´, de la fuerza R unida a O como se muestra en la siguiente figura:

Entonces se tiene:

∑Mo= ∑Mo + s x R.

En la práctica, la reducción de un sistema de fuerzas dado a una so­la fuerza R actuando en O y un vector de par Mo será llevada a cabo en Términos de las componentes. Descomponiendo cada vector r y cada

Fuerza F del sistema en sus componentes rectangulares, se escribe:

R= xi + yj + zk

F=f_xi + f_yj + f_zk

Sistemas equivalentes de fuerzas

En la sección anterior se vio que cualquier sistema de fuerzas que ac­túa sobre un cuerpo rígido puede reducirse a un sistema fuerza-par actuando en un punto dado O. Este sistema equivalente fuerza-par caracteriza completamente el efecto del sistema de fuerzas dado sobre el cuerpo rígido. Por tanto, dos sistemas de fuerzas son equivalentes si pueden ser reducidos al mismo sistema fuerza -par en un punto dado O.

Expresadas en forma matemá­tica, las condiciones necesarias y suficientes para que los dos sistemas de fuerzas sean equivalentes son las siguientes:

∑F=∑F´   ,     ∑Mo=∑M´o.

Al descomponer las fuerzas y los momentos de las ecuaciones anteriores, en sus elementos rectangulares, pueden expresarse las condiciones necesarias y suficientes para la equivalencia de dos sistemas de fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido de la siguiente manera:

∑Fx=∑F´x       ∑Fy= ∑F´y     ∑Fz=∑F´z

∑Mx=∑M´x      ∑My= ∑M´y   ∑Mz=∑M´y

Estas ecuaciones tienen una interpretación física simple; expresan que dos sistemas de fuerzas son equivalentes si tienden a impartirle al cuer­po rígido 1) la misma traslación en las direcciones de x, y, z   2) la misma rotación alrededor de los ejes x, y, z respectivamente.

Sistemas equipolentes de vectores

Cuando dos sistemas de vectores satisfacen las ecuaciones 

(∑F=∑F´   ,     ∑Mo=∑M´o.) o (∑Fx=∑F´x       ∑Fy= ∑F´y     ∑Fz=∑F´z

∑Mx=∑M´x      ∑My= ∑M´y   ∑Mz=∑M´y)……

Esto es, cuando respectivamente sus resultantes y sus momen­tos resultantes con respecto a un punto arbitrario O son iguales, se di­ce que los dos sistemas son equipolentes. Por tanto, el resultado que se acaba de establecer en la sección anterior se puede enunciar como sigue: Si dos sistemas de  fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido son Equipolentes, entonces ambos también son equivalentes.

Es importante señalar que este enunciado no se aplica a cualquier sistema de vectores. Considérese, por ejemplo, un sistema de fuerzas que actúan sobre un conjunto independiente de partículas que no for­man un cuerpo rígido. Es posible que un sistema de fuerzas diferentes que actúan sobre las mismas partículas pueda ser equipolente al prime­ro, esto es, que dicho sistema tenga la misma resultante y el mismo mo­mento resultante. Sin embargo, como ahora actuarán diferentes fuerzas sobre cada una de las partículas, los efectos de dichas fuerzas sobre es­tas partículas serán diferentes; en un caso similar, aunque los dos siste­mas de fuerzas sean equipolentes, no son equivalentes.

Reducción de un sistema de fuerzas a una llave de torsión o torsor

Primero todo el sistema se reduce a una fuerza resultante R y un momento resultante M_o^r con respecto a un punto cualquiera.

Después M_o^r se descompone en una componente M1 a lo largo de R y otra componente M2 perpendicular a R.

La componente M2 se puede eliminar corriendo R junto con M1.

La magnitud de M1 es la proyeccion de M_o^r  sobre la R y se calcula:

M1=R. M_o^r/R

Vector M1 se obtiene multiplicando M1._r, ósea M1= M1._r,

Vector M2 se obtiene restando M2= M_o^r – M1

Profesora: Ing. Dubraska Rodriguez. MSc. Agradecimientos

Creadores:

Miguel Sanchez Exp: 2012203119 Sec:05
Nelson Muñoz Exp: 2012203097 Sec:05
Luis Guzman Exp: 2014203285 Sec:05

Bibliografia

•  Mecánica Vectorial Para Ingenieros Estática 9 - Beer Johnston